是一个整系数多项式,$r$是它的一个有理根.当$r\neq 0$时,设$r=\frac{p}{q}$.其中$p,q$互质.
\begin{align*}
f(\frac{p}{q})=a_n \frac{p^n}{q^n}+a_{n-1} \frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{p}{q}+a_0=0\end{align*}则\begin{align*} a_n \frac{p^n}{q}+a_{n-1}p^{n-1}q^0+\cdots+a_1q^{n-2}+a_0q^{n-1}=0\end{align*}可见,$a_n\frac{p^n}{q}$是整数.由于$(p^n,q)=1$,可见,$q|a_n$.然后我们看\begin{align*} a_0q^{n-1}=-(a_n \frac{p^n}{q}+a_{n-1}p^{n-1}q^0+\cdots+a_1q^{n-2})\end{align*}从这里容易得出$p|a_0$(怎么得出?).