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整系数多项式的有理根的一个性质
阅读量:6413 次
发布时间:2019-06-23

本文共 593 字,大约阅读时间需要 1 分钟。

\begin{align*}
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0
\end{align*}

是一个整系数多项式,$r$是它的一个有理根.当$r\neq 0$时,设$r=\frac{p}{q}$.其中$p,q$互质.

\begin{align*}

f(\frac{p}{q})=a_n \frac{p^n}{q^n}+a_{n-1} \frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{p}{q}+a_0=0
\end{align*}
\begin{align*}
a_n \frac{p^n}{q}+a_{n-1}p^{n-1}q^0+\cdots+a_1q^{n-2}+a_0q^{n-1}=0
\end{align*}
可见,$a_n\frac{p^n}{q}$是整数.由于$(p^n,q)=1$,可见,$q|a_n$.然后我们看
\begin{align*}
a_0q^{n-1}=-(a_n \frac{p^n}{q}+a_{n-1}p^{n-1}q^0+\cdots+a_1q^{n-2})
\end{align*}
从这里容易得出$p|a_0$(怎么得出?).

转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/12/27/3827940.html

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